गुणा सारणी को चरणबद्ध तरीके से और रटने पर निर्भर किए बिना कैसे सीखें
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गुणा सारणी सीखने में तीन चीज़ें शामिल होती हैं: क्रिया का अर्थ, उसका परिणाम कैसे ज्ञात करें, और आवश्यकता पड़ने पर उसे कैसे याद रखें। सारणी को रटना अभ्यास का एक हिस्सा हो सकता है, लेकिन यह पूरी बात नहीं बताता। एक बच्चा "तीन, छह, नौ, बारह" कह सकता है, लेकिन अगर आप उससे सीधे पूछें कि 3 × 4 क्या होता है, तो वह अटक जाएगा। यह मार्गदर्शिका सरल उदाहरणों के साथ इस अंतर को दूर करने का एक तरीका बताती है।
इसका उद्देश्य है कि बराबर समूहों में शुरुआत करें, संक्रियाओं के बीच संबंध खोजें और फिर विभिन्न प्रश्नों के साथ अभ्यास करें। आप वस्तुओं, चित्रों, कार्डों और Tablitas जैसे ऐप का उपयोग कर सकते हैं। सामग्री से ज़्यादा ज़रूरी है उद्देश्य की स्पष्टता: गति बढ़ाने के लिए कहने से पहले, यह सुनिश्चित कर लें कि बच्चा गणना को समझ रहा है। निम्नलिखित गतिविधियाँ अध्ययन को पूरक करने के लिए सुझाव हैं और इन्हें स्कूल में चल रहे पाठ्यक्रम के अनुसार ढाला जा सकता है।
गुणा का अर्थ क्या है: किसी ऐसी चीज़ से शुरू करें जिसे देखा जा सके
कल्पना कीजिए कि चार प्लेटों में से प्रत्येक पर तीन स्ट्रॉबेरी रखी हैं। स्ट्रॉबेरी की कुल संख्या जानने के लिए, आप 3 + 3 + 3 + 3 जोड़ सकते हैं। आप इसे 4 × 3 = 12 भी लिख सकते हैं। गुणा करके इस व्यवस्था को समान समूहों में संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है। इस उदाहरण में, पहली संख्या प्लेटों की संख्या दर्शाती है, और दूसरी संख्या प्रत्येक प्लेट में रखी स्ट्रॉबेरी की संख्या दर्शाती है।
लिखित क्रिया सिखाने से पहले वस्तुओं को मेज पर रखें। उनसे पूछें कि उन्हें कितने समूह दिखाई दे रहे हैं और प्रत्येक समूह में कितनी वस्तुएँ हैं। फिर आपने जो बनाया है उसका चित्र बनाएँ और उसमें चिह्न जोड़ें। यदि वे तीनों निरूपणों के बीच संबंध को समझ जाते हैं, तो परिणाम पर चर्चा करना आसान होगा, बजाय इसके कि उसे किसी ऐसे शब्द में बदल दिया जाए जिसे उन्हें अलग से याद करना पड़े।
एक ऐसा उदाहरण दिखाना भी उपयोगी होगा जो इस मॉडल के अनुरूप नहीं है। यदि एक प्लेट में तीन स्ट्रॉबेरी हैं और दूसरी में पाँच, तो तीन-तीन स्ट्रॉबेरी के दो समूह नहीं बनते। यह तुलना "बराबर समूहों" का अर्थ स्पष्ट करने में सहायक होती है। आप दोनों स्थितियों को जोड़कर हल कर सकते हैं और समझा सकते हैं कि केवल एक को ही सीधे 2 × 3 के रूप में क्यों दर्शाया गया है।
चरण 1: प्रत्येक तालिका को एक पहचानने योग्य पैटर्न से जोड़ें
दो का पहाड़ा जोड़ों से शुरू किया जा सकता है: प्रति व्यक्ति दो जूते, प्रति साइकिल दो पहिए, या प्रति पैकेट दो वस्तुएँ। पाँच का पहाड़ा पाँच-पाँच के समूहों से दर्शाया जा सकता है। दस का पहाड़ा दस वस्तुओं के पैकेटों के सुविधाजनक उदाहरण प्रस्तुत करता है। ये कुछ शुरुआती बिंदु हैं; कक्षा के कार्य के अनुसार विशिष्ट क्रम को समायोजित किया जा सकता है।
पैटर्न को गति परीक्षण के रूप में प्रस्तुत न करें। उनसे तीन जोड़े और फिर चार जोड़े बनाने को कहें। पूछें कि एक और जोड़ा जोड़ने पर क्या परिवर्तन होता है। प्रासंगिक उत्तर यह है कि दो नए तत्व प्रकट होते हैं। यह अवलोकन तालिका में लगातार परिणामों को जोड़ता है: 2 × 3 और 2 × 4 के बीच दो का अंतर है।
यही प्रक्रिया दूसरी तालिका के साथ दोहराएं और उन्हें नियम को बोलकर बताने दें। वे शायद औपचारिक अभिव्यक्ति का उपयोग करने से पहले कहें, "मैं हर बार पाँच जोड़ता हूँ।" महत्वपूर्ण बात यह है कि वे इसे एक उदाहरण के साथ प्रदर्शित कर सकें। यदि वे नियम बता तो देते हैं लेकिन उसे लागू नहीं कर पाते, तो समूहों में वापस जाएं और तत्वों की संख्या कम कर दें।
चरण 2: अपने पूर्व ज्ञान का उपयोग करके किसी नई समस्या का समाधान करें।
प्रत्येक गुणन को अलग-अलग मानने की आवश्यकता नहीं है। यदि आप जानते हैं कि 5 × 6 = 30, तो आप 6 × 6 को छह के एक और समूह के रूप में मान सकते हैं: 30 + 6 = 36। यदि आपको याद है कि 10 × 7 = 70, तो आप सात के एक समूह को हटाकर 9 × 7 ज्ञात कर सकते हैं: 70 − 7 = 63।
इन संबंधों को कागज पर दर्शाइए। छह-छह बिंदुओं की छह पंक्तियाँ खींचिए और पहली पाँच पंक्तियों को आखिरी पाँच से अलग कीजिए। इस तरह, 30 + 6 का योग एक ठोस चित्र के रूप में प्रस्तुत होता है। शुरुआत से ही सभी गुणों के औपचारिक नाम बताना आवश्यक नहीं है। आप किसी आकृति को भागों में विभाजित करने और फिर उनकी मात्राओं को पुनः संयोजित करने के बारे में बात कर सकते हैं।
एक समय में एक ही तरीका चुनें। एक ही काम के लिए पाँच अलग-अलग तरीके बताने से अनावश्यक निर्णय लेने की नौबत आ सकती है। उनसे पूछें कि उन्हें कौन सी रणनीति सबसे अच्छी तरह समझ में आई और कुछ सत्रों तक उसी रणनीति पर टिके रहें। बाद में, आप अलग-अलग तरीकों की तुलना करके यह सत्यापित कर सकते हैं कि वे समान परिणाम देते हैं।
चरण 3: पता लगाएं कि 3 × 4 और 4 × 3 का परिणाम समान क्यों होता है
तीन पंक्तियों वाला एक आयत बनाइए, जिसमें प्रत्येक पंक्ति में चार बिंदु हों। फिर कागज को पलट दीजिए। अब आप इसे तीन-तीन बिंदुओं की चार पंक्तियों के रूप में देख सकते हैं, लेकिन बिंदुओं की कुल संख्या में कोई बदलाव नहीं हुआ है। यह निरूपण आपको क्रमविनिमय गुणधर्म का अध्ययन करने की अनुमति देता है: गुणनखंडों का क्रम बदलने पर भी गुणनफल अपरिवर्तित रहता है।
परिणाम और कहानी में अंतर करना महत्वपूर्ण है। चार पेंसिल वाले तीन बक्से और तीन पेंसिल वाले चार बक्से में कुल बारह पेंसिल होती हैं, लेकिन वे एक ही वितरण का वर्णन नहीं करते हैं। आप अभ्यास को जटिल बनाए बिना दोनों पर चर्चा कर सकते हैं: कुल संख्या समान है, भले ही समूह अलग-अलग हों।
यह संबंध नई तालिका में ज्ञात संक्रियाओं को पहचानने में मदद करता है। यदि उन्होंने पहले से ही 4 × 7 के साथ काम किया है, तो 7 × 4 का सामना करने से उन्हें एक संदर्भ बिंदु मिल जाता है। उन्हें ग्रिड पर इन जोड़ियों को खोजने और उन्हें एक ही रंग से रंगने के लिए कहें। लक्ष्य संबंधों को देखना है, न कि चित्र को यथाशीघ्र पूरा करना।
चरण 4: क्रमबद्ध प्रश्नों और मिश्रित प्रश्नों के बीच बारी-बारी से हल करें।
किसी तालिका को क्रम से पढ़ने से आप उसके पैटर्न को समझ सकते हैं। अलग-अलग प्रक्रियाओं का उपयोग करके आप यह जांच सकते हैं कि बच्चा प्रत्येक परिणाम को पहचानता है या नहीं, इसके लिए आपको पूरी अनुक्रम को बार-बार दोहराने की आवश्यकता नहीं होगी। इन दोनों गतिविधियों को एक साथ किया जा सकता है। पहले क्रमबद्ध पठन से शुरू करें और फिर तीन प्रश्नों को अलग-अलग क्रम में चुनें।
उदाहरण के लिए, चार के पहाड़े पर काम करने के बाद, 4 × 2, फिर 4 × 5, और फिर 4 × 3 पूछें। यदि उन्हें जोड़ का उपयोग करने की आवश्यकता हो, तो उन्हें करने दें। पूछें कि वे परिणाम तक कैसे पहुँचे। यह स्पष्टीकरण अनुमानित उत्तर और उस रणनीति के बीच अंतर करने में मदद करता है जिसका वे अधिक परिचित होने पर उपयोग करना जारी रख सकते हैं।
प्रश्नों की संख्या, कठिनाई स्तर और गति को एक साथ बढ़ाने से बचें। यदि आप अधिक अभ्यास शामिल करना चाहते हैं, तो शांत गति बनाए रखें। यदि आप गति का अवलोकन करने जा रहे हैं, तो उन परिणामों का उपयोग करें जिन्हें छात्र पहले ही समझ चुका है। एक समय में केवल एक ही आवश्यकता को बदलने से यह समझना आसान हो जाता है कि क्या हो रहा है।
चरण 5: अंतराल और छोटी-छोटी कहानियाँ शामिल करें
एक क्रिया को 6 × 4 = ? के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, लेकिन 6 × ? = 24 के रूप में भी। दूसरे मामले में, प्रश्न बदल जाता है: आपको एक गुणनखंड ज्ञात करना होता है। आप इसके साथ छह खाली समूह और समान रूप से विभाजित करने के लिए चौबीस काउंटर दे सकते हैं। फिर हल को पूर्ण गुणन से संबंधित करें।
एक और तरीका है एक छोटी कहानी: “छह मेजें हैं और प्रत्येक पर चार कुर्सियाँ हैं। कुल कितनी कुर्सियाँ हैं?” उनसे दी गई जानकारी को इंगित करने, स्थिति का चित्र बनाने और गणना लिखने के लिए कहें। यदि वे संख्याओं को लेकर भ्रमित होते हैं, तो तुरंत यह न मान लें कि वे पहाड़ा भूल गए हैं। उन्हें पाठ को समझने में मदद की आवश्यकता हो सकती है।
आप उन्हें एक समस्या भी दे सकते हैं और उनसे एक कहानी गढ़ने के लिए कह सकते हैं। "3 × 8 किस स्थिति को दर्शा सकता है?" सरल उदाहरण स्वीकार करें, जैसे कि आठ कंचों से भरे तीन थैले। अपना संदर्भ बनाने से आप कारकों के अर्थ पर उस तरीके से चर्चा कर सकते हैं जो केवल वर्कशीट के उत्तर देने से अलग है।
इस टूर में Tablitas को कैसे शामिल करें
iPhone और iPad के लिए Tablitas ऐप में डॉट्स के साथ टेबल्स के पाठ और बिल्ड एंड ग्रुप्स जैसे गेम दिए गए हैं। ये ब्रांड द्वारा प्रकाशित विशेषताएं हैं, न कि किसी स्वतंत्र मूल्यांकन का परिणाम। Tablitas ऐप देखें।
आप घरेलू गतिविधियों के क्रम को तीन चरणों में प्रस्तुत कर सकते हैं: वस्तुओं के साथ क्रिया का प्रदर्शन करें, ऐप में उपलब्ध गतिविधि का अन्वेषण करें, और इसे कागज पर दोबारा समझाएं। अंतिम चरण महत्वपूर्ण है क्योंकि इससे आपको यह देखने में मदद मिलती है कि प्रारूप बदलने पर बच्चा क्या याद रख पाता है। आपको स्क्रीन को हूबहू दोहराने की आवश्यकता नहीं है; बस गणितीय संबंध को बनाए रखें।
यदि आप एंड्रॉइड का उपयोग कर रहे हैं, तो उस संस्करण की सुविधाओं की समीक्षा करने के लिए Google Play पर Tablitas का पेज देखें। iOS विवरण यह गारंटी नहीं देता कि सभी विवरण दूसरे प्लेटफ़ॉर्म पर समान होंगे। अपनी आवश्यकता के अनुसार उपलब्ध गतिविधियों का चयन करें, सुविधाओं की सूची को सभी का उपयोग करने के लिए बाध्य न समझें।
छह के पहाड़े के साथ एक पूर्ण उदाहरण
छह-छह काउंटरों के तीन समूह से शुरू करें। कुल गिनती करें और 3 × 6 = 18 लिखें। चौथा समूह जोड़ें और पूछें कि कितने काउंटर जोड़े गए हैं। फिर 4 × 6 = 24 लिखें। अब आपके पास दो क्रियाएं हैं जो एक दृश्य क्रिया से जुड़ी हैं: छह जोड़ना।
अगला चरण, चार पंक्तियों और छह स्तंभों वाला एक आयत बनाइए। कागज को घुमाकर उसे 6 × 4 के समान बनाइए। दोनों संक्रियाएँ लिखिए और उभयनिष्ठ परिणाम पर गोला बनाइए। आप पूछ सकते हैं कि क्या अपरिवर्तित रहता है और क्या बदलता है। कुल राशि वही रहेगी; पंक्तियों और स्तंभों का वर्णन करने का तरीका बदलें।
रोजमर्रा की किसी स्थिति से समाप्त करें: चार टीमों को छह-छह कार्ड मिलते हैं। कुल कितने कार्ड चाहिए? यदि उत्तर चौबीस है, तो संक्षिप्त स्पष्टीकरण मांगें। यदि छात्र को उत्तर याद नहीं है, तो चित्र को सहायता के रूप में दिखाएं। इस सत्र ने छात्रों को पूरी तालिका को एक साथ बताए बिना, उसी संबंध को दर्शाने, रूपांतरित करने और लागू करने का अवसर प्रदान किया है।
त्रुटि आने पर क्या करें
यदि वे 6 × 4 = 20 उत्तर देते हैं, तो सीधे सही उत्तर दोहराने से बचें। उनसे पूछें कि वे क्या सोच रहे थे। हो सकता है उन्होंने कोई संबंधित क्रिया का प्रयोग किया हो, पाँच-पाँच के समूह गिने हों, या जल्दबाजी में कोई उत्तर दबा दिया हो। प्रत्येक स्पष्टीकरण एक अलग दृष्टिकोण सुझाता है और बिना सोचे-समझे अभ्यास करने से रोकता है।
आप कह सकते हैं, "चलिए इसे छह-छह के चार समूहों के साथ जाँचते हैं।" प्रक्रिया को दोहराने के बाद, उन्हें सही उत्तर बताने दें: "यह चौबीस है क्योंकि छह प्लस छह प्लस छह प्लस छह बराबर चौबीस होता है।" बाद में, प्रश्न को फिर से प्रस्तुत करें। आपको इसे तुरंत कई बार दोहराने या गलती को पूरे सत्र का मुख्य विषय बनाने की आवश्यकता नहीं है।
अगला कदम तय करने के लिए उपयोगी संकेत
ध्यान दें कि क्या बच्चा मिलान करने वाले समूहों को पहचान पाता है, दो गुणन समस्याओं को आपस में जोड़ पाता है, और प्रश्नों का क्रम बदलने पर प्रतिक्रिया दे पाता है। यह जानना भी महत्वपूर्ण है कि क्या वे बिना आपको पहला शब्द बताए ही किसी रणनीति को समझा सकते हैं। ये अवलोकन आपको अगली गतिविधि चुनने में मदद करते हैं; ये बच्चे को वर्गीकृत करने का तरीका नहीं हैं।
अगर वे क्रियाविधि को समझ लेते हैं लेकिन धीमी गति से काम करते हैं, तो आप ज्ञात मात्राओं के साथ अभ्यास जारी रख सकते हैं। अगर वे जल्दी प्रतिक्रिया देते हैं लेकिन कहानी को नहीं समझ पाते, तो निरूपण और कथनों पर काम करें। अगर वे सारणियों को मिलाते समय अटक जाते हैं, तो केवल दो प्रकार की क्रियाविधियों को मिलाकर शुरुआत करें। अक्सर, एक छोटा सा समायोजन एक साथ सारी सामग्री बदलने की तुलना में अधिक आसान होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मुझे किस तालिका से शुरुआत करनी चाहिए?
आप सरल पैटर्न, जैसे दो, पाँच और दस, को दर्शाने वाली तालिकाओं से शुरुआत कर सकते हैं, स्कूल में सिखाई गई संक्रियाओं के क्रम को ध्यान में रखते हुए। मुख्य बात यह है कि प्रत्येक परिणाम को समान समूहों में बाँटें और अपने ज्ञान का उपयोग करके अन्य गुणन विधियों का पता लगाएं।
क्या हमें पहाड़े याद करने चाहिए या उन्हें समझना चाहिए?
दोनों पर काम करना फायदेमंद है। समझ आपको परिणाम को समझाने और उसका पुनर्निर्माण करने में सक्षम बनाती है; इसे आसानी से याद रखने से आपको बाद के कार्यों में इसका उपयोग करने में मदद मिलती है। आप सीखने को अभ्यास के एक ही रूप तक सीमित किए बिना, प्रस्तुतियों, छोटे प्रश्नों और समस्याओं के बीच बारी-बारी से काम कर सकते हैं।
क्या उंगलियों पर गिनना या वस्तुओं का उपयोग करना गलत है?
इन सभी सहायक उपकरणों को एक साथ हटाने की आवश्यकता नहीं है। देखें कि वे इनका उपयोग किस लिए करते हैं और क्या वे इन्हें लिखित प्रक्रिया से जोड़ पाते हैं। जैसे-जैसे वे परिणाम पहचानने लगते हैं, आप बिना सहायक उपकरण के कुछ प्रश्न पूछ सकते हैं, और जब उन्हें किसी विचार की जाँच करने की आवश्यकता हो, तो सहायक उपकरण उपलब्ध रखें।
एक बच्चे को सभी गुणा सारणी सीखने में कितना समय लगता है?
हर किसी के लिए कोई निश्चित समयसीमा नहीं है। यह पूर्व ज्ञान, अभ्यास के अवसरों और विशिष्ट कठिनाइयों पर निर्भर करता है। सभी क्रियाओं में महारत हासिल करने के लिए कोई तारीख तय करने के बजाय, प्रत्यक्ष प्रगति की समीक्षा करना अधिक उपयोगी है।
क्या एक संक्षिप्त उत्तर से पता चलता है कि आपको गुणा समझ आता है?
केवल गति से समझना पर्याप्त नहीं है। समझ का आकलन करने के लिए, क्रिया से संबंधित कोई प्रस्तुतिकरण या स्थिति पूछें। गति से प्रवाह के बारे में जानकारी मिल सकती है, लेकिन यह अर्थ की जाँच का विकल्प नहीं है।
अगर हम घर पर स्कूल से अलग विधि का उपयोग करते हैं तो मुझे क्या करना चाहिए?
कक्षा में गुणा के प्रश्नों को कैसे हल किया जा रहा है, यह पूछें और संगत उदाहरणों का उपयोग करें। एक बार जब पहला तरीका स्पष्ट हो जाए, तो आप दूसरा तरीका दिखा सकते हैं, यह समझाते हुए कि दोनों तरीके एक ही समस्या को हल करते हैं। बच्चे को एक ही समय में दो विरोधाभासी निर्देश देने से बचें।
ऐसे अभ्यास को जारी रखें जो तर्कसंगत हो
शुरुआत के लिए एक गुणा सारणी, उसका दृश्य निरूपण और तीन संक्रियाएँ चुनें। जब बच्चा उनके बीच संबंध समझा सके, तो प्रश्नों का क्रम बदलें या कोई कहानी जोड़ें। यदि आपको इस अभ्यास को व्यवस्थित करने की आवश्यकता है, तो घर पर गुणा सारणी का अभ्यास करने के लिए हमारी योजना देखें। उपकरणों की तुलना करने के लिए, आप हमारे 6 सर्वश्रेष्ठ गुणा सारणी ऐप्स भी देख सकते हैं, जिनमें Tablitas हमारी सर्वोच्च अनुशंसा है।