7, 8 और 9 के पहाड़े: तरकीबें समझाई गईं और अभ्यास के लिए एक्सरसाइज़ दी गईं

AppRadar · 2026-11-06

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सात, आठ और नौ के गुणा के पहाड़े नए परिणामों की एक लंबी सूची लग सकते हैं। हालांकि, कई क्रियाएं उन क्रियाओं से संबंधित हैं जिन्हें बच्चा पहले से जानता है। 7 × 8 ज्ञात करने के लिए, आप 5 × 8 से शुरू कर सकते हैं और उसमें 2 × 8 जोड़ सकते हैं। 9 × 6 हल करने के लिए, आप 10 × 6 की गणना कर सकते हैं और उसमें से 6 घटा सकते हैं। ये संबंध आपको परिणाम को याद करने से पहले उसे समझने में मदद करते हैं।

यह मार्गदर्शिका उदाहरणों, हल सहित अभ्यासों और शुरुआत से सभी पहाड़े दोहराए बिना गलतियों की जाँच करने का तरीका प्रदान करती है। आप एक समय में एक भाग पर काम कर सकते हैं और इसे Tablitas, फ्लैशकार्ड या नोटबुक के साथ जोड़ सकते हैं। इसका उद्देश्य बहुत सारे रटे-रटाए तरीके सिखाना नहीं है, बल्कि एक ऐसी रणनीति चुनना है जिसे बच्चा समझा सके और तब उपयोग कर सके जब उसे कोई गुणा का प्रश्न याद न हो।

शुरू करने से पहले: जो आप जानते हैं उसे अभ्यास की आवश्यकता वाली चीजों से अलग करें

इन तीन तालिकाओं से कुछ संक्रियाएँ लिखें और छात्र से पूछें कि वह किन-किन को पहचानता है। आपको एक ही सत्र में पूरी ग्रिड को हल करने की आवश्यकता नहीं है। आप 7 × 2, 8 × 5 और 9 × 10 से शुरू कर सकते हैं, और फिर दो और उदाहरण जोड़ सकते हैं जो अधिक प्रश्न उत्पन्न करते हैं। यह मिश्रण आपको यह देखने में मदद करेगा कि कौन-कौन से सहायक उपकरण उपलब्ध हैं।

ध्यान रखें कि 7 × 2 का परिणाम वही होता है जो 2 × 7 का होता है। यदि बच्चा इनमें से एक को जानता है, तो उसे दूसरे के लिए पहले से ही संदर्भ मिल जाता है। बिंदुओं का एक आयत इसे दर्शाने में सहायक होता है: दो की सात पंक्तियाँ और सात की दो पंक्तियाँ चौदह बिंदुओं को समाहित करती हैं। घुमाव से दिशा बदलती है, मात्रा नहीं।

कुछ ही क्रियाविधियों को लिखें ताकि आप उन्हें बाद में देख सकें। एक सुव्यवस्थित सूची से प्रत्येक उत्तर में क्या हो रहा है, यह समझना आसान हो जाता है। यदि आप बहुत सारे प्रश्न लिखते हैं, तो संभावना है कि आप संख्याओं के बीच संबंधों पर चर्चा करने के बजाय एक पृष्ठ को संशोधित करने में ही समय व्यतीत करेंगे।

सात का सारणी: पाँच समूह और दो समूह का उपयोग करता है

7 × 6 की गणना करने के लिए, आप छह-छह के सात समूहों को पाँच समूहों और दो समूहों में विभाजित कर सकते हैं। पाँच समूहों में तीस तत्व हैं; अन्य दो समूहों में बारह तत्व हैं। इन्हें एक साथ रखने पर बयालीस प्राप्त होते हैं। पूर्ण संबंध लिखिए: 7 × 6 = 5 × 6 + 2 × 6 = 30 + 12 = 42।

सबसे पहले, छह बिंदुओं की सात पंक्तियों वाली एक तस्वीर बनाएं। पाँच पंक्तियों को एक रंग से और दो पंक्तियों को दूसरे रंग से घेरें। इस तरह, आंशिक गणनाएँ पूरे चित्र के दृश्यमान भागों को दर्शाती हैं। यदि बच्चा चित्र को समझ जाता है, तो आप धीरे-धीरे अपना सहयोग कम कर सकते हैं और उनसे शब्दों में विभाजन समझाने के लिए कह सकते हैं।

यही सिद्धांत 7 × 8 पर भी लागू होता है: चालीस में सोलह जोड़ने पर छप्पन आता है। यदि एक गणना में पहले से ही अधिक ध्यान देने की आवश्यकता है, तो दोनों को एक साथ करने की कोई आवश्यकता नहीं है। आप एक सत्र 7 × 6 के लिए समर्पित कर सकते हैं और किसी अन्य संख्या के साथ इस रणनीति पर फिर से विचार कर सकते हैं।

एक और तरीका: पड़ोसी गुणन से शुरू करना

यदि आप जानते हैं कि 7 × 5 = 35, तो आप इसमें सात जोड़कर 7 × 6 प्राप्त कर सकते हैं। इस निरूपण में, आप सात-सात के छह समूहों के साथ काम करते हैं और 7 × 6 तथा 6 × 7 के बीच समानता का उपयोग करते हैं। यदि इससे भ्रम की स्थिति उत्पन्न हो सकती है, तो चित्र के माध्यम से परिवर्तन को दर्शाना सहायक होगा।

उनसे पूछें कि कौन सा रास्ता उनके लिए अधिक स्पष्ट है: पाँच और दो समूहों को अलग करना, या किसी ज्ञात परिणाम में एक समूह जोड़ना। आपको उन्हें वयस्क दृष्टिकोण से सबसे छोटी रणनीति थोपने की आवश्यकता नहीं है। थोड़ी लंबी, लेकिन समझ में आने वाली रणनीति, गलती पर चर्चा करने के लिए बेहतर आधार प्रदान करती है।

आठ का पहाड़ा: दोगुने बनाना

आठ चार का दुगुना होता है। इसलिए, यदि आप जानते हैं कि 4 × 6 = 24, तो आप 8 × 6 को चौबीस के दुगुने के रूप में गणना कर सकते हैं: अड़तालीस। छह बिंदुओं की चार पंक्तियाँ बनाएँ और उनके बगल में समान चार और पंक्तियाँ बनाएँ। कुल मिलाकर आठ पंक्तियाँ बनती हैं।

आप इसे दो के पहाड़े से भी शुरू कर सकते हैं: दो समूह, चार समूह और आठ समूह। प्रत्येक समूह में पाँच तत्व होने पर आपको दस, बीस और चालीस मिलते हैं। यह क्रम आपको यह देखने की अनुमति देता है कि प्रत्येक बार क्या दोगुना हो रहा है। यदि बच्चा क्रम भूल जाता है, तो वह कई दोहरावों को एक साथ जोड़ने के बजाय एक ही दोहराव पर वापस आ जाएगा।

इस प्रक्रिया के लिए आवश्यक है कि उपयोग किए गए दोगुने मान प्रबंधनीय हों। यदि अट्ठाईस को दोगुना करना प्रारंभिक गुणा से अधिक कठिन है, तो एक अलग अनुपात चुनें। उदाहरण के लिए, 8 × 7 के लिए, आप 7 × 7 से शुरू कर सकते हैं और यदि वह परिणाम पहले से उपलब्ध है तो उसमें 7 जोड़ सकते हैं। इस रणनीति का उद्देश्य अनिश्चितता को कम करना होना चाहिए, न कि कोई अज्ञात गणना जोड़ना।

8 × 8 का एक दृश्य उदाहरण

आठ पंक्तियों और आठ स्तंभों वाला एक वर्ग बनाइए। इसे बीच से विभाजित करके चार गुणा आठ के दो आयत बनाइए। प्रत्येक आधे भाग में बत्तीस बिंदु हैं; दोनों में मिलाकर चौंसठ बिंदु हैं। चित्र के बगल में 8 × 8 = 32 + 32 = 64 लिखिए।

फिर एक विपरीत प्रश्न पूछें: “यदि एक आधे में बत्तीस हैं, तो दो में कितने होंगे?” यह सूत्रण कथन को हूबहू दोहराए बिना दोगुने के विचार को पुनः प्रकट करता है। चित्र को तब तक उपलब्ध रखें जब तक कि वे सभी बिंदुओं को गिनने पर निर्भर किए बिना मात्राओं को आपस में जोड़ना न सीख लें।

नौ का सारणी: दस समूहों में से एक घटाया गया

9 × 4 की गणना करने के लिए, चार-चार के दस समूह मान लीजिए और उनमें से एक हटा दीजिए। दस समूहों में चालीस तत्व होते हैं; चार हटाने पर छत्तीस बचते हैं। व्यंजक है 9 × 4 = 10 × 4 − 4 = 40 − 4 = 36।

यही बात 9 × 7 के साथ भी होती है: सत्तर में से सात घटाने पर तिरसठ आता है। आप सात बिंदुओं की दस पंक्तियाँ बना सकते हैं और एक पंक्ति को काट सकते हैं। पूछें कि सात बिंदु क्यों हटाए गए, नौ क्यों नहीं। इस बातचीत से यह पता चलेगा कि क्या उन्हें यह समझ में आया है कि गायब होने वाला समूह क्या दर्शाता है।

यह रणनीति आपको परिणाम की जाँच करने की भी अनुमति देती है। यदि कोई उत्तर देता है कि 9 × 7 तिहत्तर होता है, तो आप इसकी तुलना सात-सात के दस समूहों से कर सकते हैं। नौ समूहों में दस से कम समान समूह होने चाहिए। यह अनुमान यह पता लगाने में मदद करता है कि सटीक मान ज्ञात करने से पहले उत्तर को और सत्यापन की आवश्यकता है।

पैटर्न का अवलोकन करें, लेकिन उन्हें एकमात्र स्पष्टीकरण न बनाएं

नौ और एक से दस तक की संख्याओं के धनात्मक गुणनफलों में कुछ रोचक पैटर्न दिखाई देते हैं: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 और 90। आप देख सकते हैं कि संख्याएँ कैसे बदलती हैं और इसका उपयोग उस अनुक्रम में किसी उत्तर की जाँच करने के लिए कर सकते हैं।

हालांकि, दृश्य पैटर्न नौ समूहों को समझने का विकल्प नहीं है। वस्तुओं या बिंदुओं वाले कम से कम एक उदाहरण को बनाए रखें। इस तरह, बच्चा यह समझा सकता है कि परिणाम कहाँ से आया है, साथ ही यह भी पहचान सकता है कि इसे कैसे लिखा गया है।

7 × 8, 8 × 7 और 56 के बीच संबंध क्यों है?

एक आयत में आठ-आठ बिंदुओं की सात पंक्तियाँ हैं, कुल मिलाकर छप्पन बिंदु हैं। घुमाने पर, यह सात-सात बिंदुओं की आठ पंक्तियों में बदल जाता है। आप दो गुणन लिख सकते हैं और उन्हें दो भाग से संबंधित कर सकते हैं: 56 ÷ 7 = 8 और 56 ÷ 8 = 7।

भाग के इन प्रश्नों को तभी प्रस्तुत करें जब वे बच्चे के अध्ययन विषय से मेल खाते हों। आप इन्हें समूहबद्ध प्रश्नों के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं: "यदि हम छप्पन को सात बराबर समूहों में विभाजित करें, तो प्रत्येक समूह में कितने होंगे?" परिचित गुणा विधि से उत्तर की जाँच की जा सकती है।

Tablitas वर्कशीट में गुणा और भाग से संबंधित गतिविधियाँ दी गई हैं। Tablitas ऐप स्टोर पर देखें। आप इस गतिविधि को कागज पर लिखी गई कुछ क्रियाविधियों के साथ पूरा कर सकते हैं, यह मानकर न चलें कि किसी एक विधि को पहचानने का मतलब ही बाकी सभी विधियों में महारत हासिल करना है।

शुरुआत करने के लिए निर्देशित अभ्यास

अंतिम उत्तर पूछने से पहले, चित्र बनाकर या मौखिक रूप से समझाकर इन उदाहरणों को हल करें। आपको इन्हें एक ही सत्र में हल करने की आवश्यकता नहीं है।

एक उदाहरण हल करने के बाद, प्रश्न बदलें: “चित्र में वह बीस किस भाग को दर्शाता है?” या “आपने आठ क्यों घटाया?” स्पष्टीकरण से प्रक्रिया की समीक्षा करने में मदद मिलती है। यदि विद्यार्थी केवल सीखे हुए वाक्य को दोहरा रहा है, तो उसे चित्र में संबंधित संख्या को इंगित करने के लिए कहें।

ऊपर दी गई तालिका को देखे बिना हल करने के लिए अभ्यास

छह प्रश्न अलग-अलग कार्डों पर लिखें: 7 × 3, 8 × 4, 9 × 6, 7 × 7, 8 × 9 और 9 × 9। इन्हें आपस में मिला दें और बच्चे को चुनने दें कि वह किससे शुरू करना चाहता है। वे इन्हें मानसिक रूप से हल कर सकते हैं या लिखित रणनीति का उपयोग कर सकते हैं। यदि कोई दिलचस्प प्रश्न हो जिसे आप दोहराना चाहें, तो प्रक्रिया को लिख लें।

हल उसी क्रम में 21, 32, 54, 49, 72 और 81 हैं। यदि आप परिणाम प्राप्त करने का तरीका देखना चाहते हैं, तो प्रयास से पहले सूची न दिखाएँ। बाद में, इसका उपयोग केवल सही उत्तरों को चिह्नित करने के लिए नहीं, बल्कि जाँच के लिए करें। यदि कोई त्रुटि हो, तो एक क्रिया को पुनः बनाएँ और बाकी को बाद के लिए छोड़ दें।

जब गुणा के प्रश्न परिचित लगें तो तीन रिक्त स्थान भरें: 7 × ? = 42, 8 × ? = 64, और 9 × ? = 27। इनके हल 6, 8 और 3 हैं। प्रत्येक उत्तर की पुष्टि के लिए आप पूरा गुणा पूछ सकते हैं। इस तरह, अभ्यास आपके द्वारा अभी किए गए अभ्यास से स्पष्ट रूप से जुड़ा रहेगा।

तीन छोटे सवाल और उनके हल

पहला प्रश्न: सात बक्से हैं और प्रत्येक बक्से में आठ पेंसिलें हैं। कुल कितनी पेंसिलें हैं? गणना 7 × 8 है और परिणाम 56 पेंसिलें हैं। गणना करने से पहले, समूहों की संख्या और प्रत्येक समूह में पेंसिलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

दूसरी समस्या: आठ टीमों में से प्रत्येक को छह कार्ड मिलते हैं। कुल कितने कार्ड तैयार करने होंगे? उत्तर है 48 कार्ड, क्योंकि 8 × 6 = 48। यदि आप दुगुना 4 × 6 का उपयोग करते हैं, तो उनसे पूछें कि चौबीस-चौबीस कार्डों के दो समूह क्या दर्शाते हैं।

तीसरा प्रश्न: नौ पंक्तियों में प्रत्येक में नौ सीटें हैं। कुल कितनी सीटें हैं? कुल 81 सीटें हैं। आप इसकी जाँच नौ-नौ सीटों वाली दस पंक्तियों से कर सकते हैं, जिनका कुल योग नब्बे होगा, और नौ सीटों वाली एक पंक्ति को हटा सकते हैं। जाँच को उत्तर से अलग रखें ताकि दोनों क्रियाओं का स्पष्ट उद्देश्य हो।

आपस में मिलते-जुलते परिणामों के बीच भ्रम की जांच कैसे करें

अगर बच्चा 54 का उत्तर 7 × 8 देता है, तो उससे पूछें कि यह संख्या उसे किस क्रिया की याद दिलाती है। 54, 9 × 6 का परिणाम है, लेकिन यह न मानें कि गलती का यही कारण है। पहले उसकी बात ध्यान से सुनें: हो सकता है उसने गिनती की हो, जोड़ा हो, या कोई संख्या याद की हो लेकिन उसे किसी क्रिया से न जोड़ा हो।

7 × 8 को उसके निरूपण के आगे लिखें और परिणाम को पुनः बनाएँ। फिर, यदि यह समझ में आता है, तो इसकी तुलना उस क्रिया से करें जो वास्तव में आपको भ्रमित कर रही थी। दो विशिष्ट कार्डों के साथ काम करना तीन पूरी तालिकाओं को दोबारा पढ़ने से कहीं अधिक स्पष्ट हो सकता है। तुलना का चुनाव अपने अवलोकन के आधार पर करें, न कि सभी गलतियों की स्वतः व्याख्या के आधार पर।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सात का पहाड़ा याद करने का सबसे आसान तरीका क्या है?

एक संभावना यह है कि सात समूहों को पाँच और दो में विभाजित किया जाए। उदाहरण के लिए, 7 × 8 को 5 × 8 + 2 × 8 के रूप में हल किया जा सकता है, यानी 40 + 16 = 56। यदि बच्चा इन दोनों भागों को समझता है तो इस रणनीति का उपयोग करें।

मैं दो बार दोहराकर आठ के पहाड़े को कैसे समझा सकता हूँ?

चार के पहाड़े से शुरू करें और परिणाम को दोगुना करें। 8 × 6 के लिए, पहले 4 × 6 = 24 की गणना करें और फिर 24 + 24 = 48 की गणना करें। दो समान ब्लॉकों का एक चित्र यह समझाने में सहायक होगा कि यह कैसे काम करता है।

नौ के पहाड़े से समूह क्यों घटाया जाता है?

क्योंकि दस बराबर समूहों में से एक को हटाने पर नौ समूह प्राप्त किए जा सकते हैं। 9 × 7 में, दस समूहों में सत्तर तत्व होते हैं और हटाए गए समूह में सात तत्व होते हैं। इसलिए गणना 70 − 7 = 63 है।

क्या हमें तीनों पहाड़े एक साथ याद करने होंगे?

यह आवश्यक नहीं है। आप किसी संबंध पर काम कर सकते हैं, ज्ञात क्रियाओं की समीक्षा कर सकते हैं, और फिर कुछ प्रश्न शामिल कर सकते हैं। प्रश्नों की संख्या बच्चे के स्तर और स्कूल के कार्य के अनुसार समायोजित करें। यह मिश्रण आपको अवलोकन करने में मदद करेगा, न कि बिना किसी उद्देश्य के कठिनाई बढ़ाएगा।

अगर उसे ट्रिक समझ आ जाए लेकिन जवाब देने में बहुत देर लगे तो मुझे क्या करना चाहिए?

परिचित ट्रेडों के साथ अभ्यास के अवसर बनाए रखें और देखें कि क्या समय के साथ आपको कम से कम सहायता की आवश्यकता होती है। किसी रणनीति को समझना और जल्दी लाभ प्राप्त करना दो अलग-अलग बातें हैं। किसी उपयोगी स्पष्टीकरण को केवल इसलिए खारिज न करें क्योंकि उसे उपयोग करने में आपको अभी भी कुछ समय लग रहा है।

मैं Tablitas की मदद से इन पहाड़ों का अभ्यास कैसे कर सकता हूँ?

अपने संस्करण में उपलब्ध गतिविधियों और सामग्री को देखें, एक लक्ष्य चुनें और उसके साथ कागज पर गुणा का एक प्रश्न हल करें। आप इसे Google Play या App Store से प्राप्त कर सकते हैं। सत्र आयोजित करने से पहले उपलब्ध सामग्री की समीक्षा कर लें।

अगले अभ्यास के लिए एक संबंध चुनें

इस मार्गदर्शिका में दिए गए सभी उदाहरणों का उपयोग करना आवश्यक नहीं है। एक कठिन क्रिया और समझने योग्य रणनीति से शुरुआत करें। जब बच्चा इसे समझा सके, तो प्रश्नों का क्रम बदलें या एक छोटी समस्या दें। निरंतरता बनाए रखने के लिए, साप्ताहिक गृह अभ्यास योजना देखें; मूल सिद्धांतों की समीक्षा के लिए, गुणा सारणी सीखने के तरीके पर आधारित मार्गदर्शिका पर वापस जाएँ।