Πίνακες πολλαπλασιασμού των 7, 8 και 9: επεξήγηση κόλπων και ασκήσεις για την εξάσκησή τους

AppRadar · 2026-11-06

Διαφάνεια: Το Tablitas αναπτύσσεται από την AppRadar, τον εκδότη αυτού του ιστότοπου.

Οι πίνακες πολλαπλασιασμού των επτά, οκτώ και εννέα μπορεί να φαίνονται σαν μια μακρά λίστα με νέα αποτελέσματα. Ωστόσο, πολλές πράξεις σχετίζονται με άλλες που το παιδί ήδη γνωρίζει. Για να βρείτε το 7 × 8, μπορείτε να ξεκινήσετε με 5 × 8 και να προσθέσετε 2 × 8. Για να λύσετε το 9 × 6, μπορείτε να υπολογίσετε το 10 × 6 και να αφαιρέσετε το έξι. Αυτές οι σχέσεις σάς επιτρέπουν να δημιουργήσετε το αποτέλεσμα πριν προσπαθήσετε να το ανακαλέσετε πιο εύκολα.

Αυτός ο οδηγός συγκεντρώνει παραδείγματα, ασκήσεις με λύσεις και έναν τρόπο ελέγχου για λάθη χωρίς να επαναλαμβάνετε όλους τους πίνακες από την αρχή. Μπορείτε να εργαστείτε σε μία ενότητα κάθε φορά και να την συνδυάσετε με Tablitas, κάρτες ή ένα σημειωματάριο. Ο στόχος δεν είναι να μάθετε πολλά απομνημονευμένα κόλπα, αλλά να επιλέξετε μια στρατηγική που το παιδί μπορεί να εξηγήσει και να χρησιμοποιήσει όταν δεν θυμάται ακόμα ένα πρόβλημα πολλαπλασιασμού.

Πριν ξεκινήσετε: διαχωρίστε αυτά που γνωρίζετε από αυτά που χρειάζονται εξάσκηση

Γράψτε μερικές πράξεις από αυτούς τους τρεις πίνακες και ρωτήστε ποιες αναγνωρίζει ο μαθητής. Δεν χρειάζεται να συμπληρώσετε ένα ολόκληρο πλέγμα σε μία συνεδρία. Μπορείτε να ξεκινήσετε με 7 × 2, 8 × 5 και 9 × 10 και στη συνέχεια να προσθέσετε δύο ακόμη παραδείγματα που εγείρουν περισσότερα ερωτήματα. Αυτός ο συνδυασμός σάς επιτρέπει να δείτε ποιες υποστηρίξεις είναι διαθέσιμες.

Να θυμάστε ότι το 7 × 2 έχει το ίδιο αποτέλεσμα με το 2 × 7. Αν το παιδί γνωρίζει ένα από τα δύο, έχει ήδη μια αναφορά για το άλλο. Ένα ορθογώνιο με κουκκίδες βοηθά να το δείξουμε αυτό: επτά σειρές των δύο και δύο σειρές των επτά περιέχουν δεκατέσσερις κουκκίδες. Η περιστροφή αλλάζει τον προσανατολισμό, όχι την ποσότητα.

Γράψτε μόνο μερικές πράξεις, ώστε να μπορείτε να ανατρέχετε σε αυτές. Μια διαχειρίσιμη λίστα διευκολύνει την εμφάνιση του τι συμβαίνει σε κάθε απάντηση. Αν γράψετε πάρα πολλές ερωτήσεις, είναι πιο πιθανό να καταλήξετε να διορθώνετε μια σελίδα παρά να συζητάτε τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών.

Πίνακας επτά: χρησιμοποιεί πέντε ομάδες και δύο ομάδες

Για να υπολογίσετε το 7 × 6, μπορείτε να διαχωρίσετε επτά ομάδες των έξι σε πέντε ομάδες και δύο ομάδες. Οι πέντε ομάδες περιέχουν τριάντα στοιχεία. οι άλλες δύο περιέχουν δώδεκα. Συνδυάζοντάς τα, προκύπτει σαράντα δύο. Γράψτε την πλήρη σχέση: 7 × 6 = 5 × 6 + 2 × 6 = 30 + 12 = 42.

Πρώτα, σχεδιάστε μια εικόνα με επτά σειρές των έξι κουκκίδων. Κυκλώστε πέντε σειρές με ένα χρώμα και δύο με ένα άλλο. Με αυτόν τον τρόπο, οι μερικοί υπολογισμοί αντιπροσωπεύουν ορατά μέρη του συνόλου. Εάν το παιδί καταλαβαίνει το σχέδιο, μπορείτε σταδιακά να μειώσετε την υποστήριξή σας και να του ζητήσετε να εξηγήσει τον διαχωρισμό με λόγια.

Η ίδια ιδέα ισχύει και για το 7 × 8: σαράντα συν δεκαέξι ίσον πενήντα έξι. Δεν χρειάζεται να υπολογίζετε και τις δύο πράξεις διαδοχικά εάν κάποια απαιτεί ήδη πολλή προσοχή. Μπορείτε να αφιερώσετε μια συνεδρία στο 7 × 6 και να επανεξετάσετε τη στρατηγική μια άλλη μέρα με διαφορετικό αριθμό.

Ένας άλλος τρόπος: ξεκινώντας από έναν γειτονικό πολλαπλασιασμό

Αν γνωρίζετε 7 × 5 = 35, μπορείτε να βρείτε 7 × 6 προσθέτοντας επτά. Σε αυτήν την αναπαράσταση, εργάζεστε με έξι ομάδες των επτά και χρησιμοποιείτε την ισότητα μεταξύ 7 × 6 και 6 × 7. Είναι χρήσιμο να δείξετε την αλλαγή με ένα σχέδιο, αν αυτό μπορεί να προκαλέσει σύγχυση.

Ρωτήστε ποιο μονοπάτι είναι πιο ξεκάθαρο για αυτούς: ο διαχωρισμός πέντε και δύο ομάδων ή η προσθήκη μιας ομάδας σε ένα γνωστό αποτέλεσμα. Δεν χρειάζεται να επιβάλλετε τη συντομότερη στρατηγική από την οπτική γωνία ενός ενήλικα. Μια ελαφρώς μεγαλύτερη, αλλά κατανοητή, στρατηγική παρέχει μια καλύτερη βάση για να συζητήσουμε ένα λάθος.

Οκτώ φορές τον πίνακα: κατασκευή διπλών

Το οκτώ είναι διπλάσιο του τέσσερα. Έτσι, αν γνωρίζετε ότι 4 × 6 = 24, μπορείτε να υπολογίσετε το 8 × 6 ως διπλάσιο του είκοσι τέσσερα: σαράντα οκτώ. Σχεδιάστε τέσσερις σειρές των έξι κουκκίδων και σχεδιάστε άλλες τέσσερις ίδιες σειρές δίπλα τους. Μαζί σχηματίζουν οκτώ σειρές.

Μπορείτε επίσης να καταλήξετε σε αυτό ξεκινώντας από τον πίνακα πολλαπλασιασμού δύο: δύο ομάδες, τέσσερις ομάδες και οκτώ ομάδες. Με πέντε στοιχεία σε κάθε ομάδα, έχετε δέκα, είκοσι και σαράντα. Αυτή η ακολουθία σάς επιτρέπει να παρατηρείτε τι διπλασιάζεται κάθε φορά. Εάν το παιδί χάσει την επαφή, θα επιστρέψει σε μία μόνο επανάληψη αντί να συνδέσει πολλά μαζί.

Η διαδικασία απαιτεί οι διπλασιασμοί που χρησιμοποιούνται να είναι διαχειρίσιμοι. Εάν ο διπλασιασμός του είκοσι οκτώ είναι πιο δύσκολος από τον αρχικό πολλαπλασιασμό, επιλέξτε διαφορετική αναλογία. Για παράδειγμα, για 8 × 7, μπορείτε να ξεκινήσετε με 7 × 7 και να προσθέσετε επτά εάν αυτό το αποτέλεσμα είναι ήδη διαθέσιμο. Η στρατηγική θα πρέπει να μειώνει την αβεβαιότητα και όχι να εισάγει έναν άγνωστο υπολογισμό.

Ένα οπτικό παράδειγμα με 8 × 8

Σχεδιάστε ένα τετράγωνο με οκτώ σειρές και οκτώ στήλες. Χωρίστε το στη μέση για να σχηματίσετε δύο ορθογώνια των τεσσάρων επί οκτώ. Κάθε μισό περιέχει τριάντα δύο άκρες. Όλες μαζί περιέχουν εξήντα τέσσερις. Γράψτε 8 × 8 = 32 + 32 = 64 δίπλα στο σχέδιο.

Στη συνέχεια, θέστε μια αντίστροφη ερώτηση: «Αν το ένα μισό περιέχει τριάντα δύο, πόσα περιέχουν τα δύο;» Αυτή η διατύπωση ανακτά την ιδέα του διπλού χωρίς να επαναλαμβάνει ακριβώς τη δήλωση. Κρατήστε το σχέδιο διαθέσιμο μέχρι να μπορέσουν να συσχετίσουν ποσότητες χωρίς να βασίζονται στην καταμέτρηση όλων των κουκκίδων.

Πίνακας εννέα: δέκα ομάδες μείον μία

Για να υπολογίσετε το 9 × 4, φανταστείτε δέκα ομάδες των τεσσάρων και αφαιρέστε μία. Δέκα ομάδες περιέχουν σαράντα στοιχεία. Αφαιρώντας τέσσερα, προκύπτουν τριάντα έξι. Η παράσταση είναι 9 × 4 = 10 × 4 − 4 = 40 − 4 = 36.

Το ίδιο συμβαίνει και με το 9 × 7: εβδομήντα μείον επτά κάνει εξήντα τρία. Μπορείτε να σχεδιάσετε δέκα σειρές των επτά κουκκίδων και να διαγράψετε μία σειρά. Ρωτήστε γιατί αφαιρέθηκαν επτά κουκκίδες και όχι εννέα. Αυτή η συζήτηση ελέγχει αν έχουν καταλάβει τι αντιπροσωπεύει η εξαφανιζόμενη ομάδα.

Αυτή η στρατηγική σάς επιτρέπει επίσης να ελέγξετε ένα αποτέλεσμα. Αν κάποιος απαντήσει ότι 9 × 7 κάνει εβδομήντα τρία, μπορείτε να το συγκρίνετε με δέκα ομάδες των επτά. Εννέα ομάδες θα πρέπει να περιέχουν λιγότερες από δέκα ίσες ομάδες. Αυτή η εκτίμηση βοηθά στην ανίχνευση ότι η απάντηση χρειάζεται περαιτέρω επαλήθευση πριν αναζητήσετε την ακριβή τιμή.

Παρατηρήστε μοτίβα χωρίς να τα θεωρείτε ως τη μοναδική εξήγηση

Εκπληκτικά μοτίβα εμφανίζονται στα θετικά γινόμενα του εννέα και στους αριθμούς από το ένα έως το δέκα: 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 και 90. Μπορείτε να παρατηρήσετε πώς αλλάζουν οι αριθμοί και να το χρησιμοποιήσετε αυτό για να ελέγξετε μια απάντηση εντός αυτής της ακολουθίας.

Ωστόσο, ένα οπτικό μοτίβο δεν υποκαθιστά την κατανόηση εννέα ομάδων. Διατηρήστε τουλάχιστον ένα παράδειγμα με αντικείμενα ή κουκκίδες. Με αυτόν τον τρόπο, το παιδί μπορεί να εξηγήσει από πού προέρχεται το αποτέλεσμα, καθώς και να αναγνωρίσει πώς είναι γραμμένο.

Γιατί τα 7 × 8, 8 × 7 και 56 σχετίζονται

Ένα ορθογώνιο με επτά σειρές των οκτώ κουκκίδων περιέχει πενήντα έξι κουκκίδες. Όταν περιστραφεί, γίνεται οκτώ σειρές των επτά. Μπορείτε να γράψετε τους δύο πολλαπλασιασμούς και να τους συσχετίσετε με δύο διαιρέσεις: 56 ÷ 7 = 8 και 56 ÷ 8 = 7.

Εισαγάγετε αυτά τα προβλήματα διαίρεσης μόνο εάν ταιριάζουν με το περιεχόμενο στο οποίο εργάζεται το παιδί. Μπορείτε να τα παρουσιάσετε ως ερωτήσεις ομαδοποίησης: «Αν διαιρέσουμε πενήντα έξι μάρκες σε επτά ίσες ομάδες, πόσες θα υπάρχουν σε κάθε ομάδα;» Ο γνωστός πολλαπλασιασμός παρέχει έναν τρόπο ελέγχου της απάντησης.

Το φύλλο εργασίας Tablitas περιγράφει δραστηριότητες που σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Δείτε το Tablitas στο App Store. Μπορείτε να συμπληρώσετε αυτήν τη δραστηριότητα με ένα σύνολο πράξεων γραμμένων σε χαρτί, χωρίς να υποθέσετε ότι η αναγνώριση μιας μεθόδου συνεπάγεται αυτόματα την τελειοποίηση όλων των άλλων.

Οδηγίες για ασκήσεις για να ξεκινήσετε

Εργαστείτε σε αυτά τα παραδείγματα με ένα σχέδιο ή μια προφορική εξήγηση πριν ζητήσετε την τελική απάντηση. Δεν χρειάζεται να τα λύσετε όλα στην ίδια συνεδρία.

Αφού επεξεργαστείτε ένα παράδειγμα, αλλάξτε την ερώτηση: «Ποιο μέρος του σχεδίου αντιπροσωπεύει αυτό το είκοσι;» ή «Γιατί αφαιρέσατε οκτώ;» Η εξήγηση επιτρέπει μια επανάληψη της διαδικασίας. Εάν ο μαθητής επαναλαμβάνει μόνο μια φράση που έμαθε, ζητήστε του να δείξει την αντίστοιχη ποσότητα στην αναπαράσταση.

Ασκήσεις προς επίλυση χωρίς να κοιτάξετε τον παραπάνω πίνακα

Γράψτε έξι ερωτήσεις σε ξεχωριστές κάρτες: 7 × 3, 8 × 4, 9 × 6, 7 × 7, 8 × 9 και 9 × 9. Ανακατέψτε τις και αφήστε το παιδί να επιλέξει με ποια θα ξεκινήσει. Μπορεί να τις λύσει νοερά ή να χρησιμοποιήσει μια γραπτή στρατηγική. Σημειώστε τη διαδικασία αν υπάρχει κάποια ενδιαφέρουσα ερώτηση που θα θέλατε να επανεξετάσετε.

Οι λύσεις είναι, με την ίδια σειρά, 21, 32, 54, 49, 72 και 81. Μην εμφανίσετε τη λίστα πριν από την προσπάθεια, αν θέλετε να δείτε πώς ανακτά το αποτέλεσμα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την για έλεγχο, όχι μόνο για να επισημάνετε τις σωστές απαντήσεις. Εάν υπάρχει κάποιο σφάλμα, ανακατασκευάστε μία λειτουργία και αφήστε τις άλλες για αργότερα.

Προσθέστε τρία κενά όταν οι πολλαπλασιασμοί σας φαίνονται γνωστοί: 7 × ? = 42, 8 × ? = 64 και 9 × ? = 27. Οι λύσεις τους είναι 6, 8 και 3. Μπορείτε να ζητήσετε έναν πλήρη πολλαπλασιασμό για να επιβεβαιώσετε κάθε απάντηση. Με αυτόν τον τρόπο, η άσκηση διατηρεί μια ορατή σύνδεση με αυτό που μόλις εξασκηθήκατε.

Τρία σύντομα προβλήματα με λύσεις

Πρώτο πρόβλημα: Υπάρχουν επτά κουτιά με οκτώ μολύβια σε κάθε κουτί. Πόσα μολύβια υπάρχουν συνολικά; Η πράξη είναι 7 × 8 και το αποτέλεσμα είναι 56 μολύβια. Προσδιορίστε πόσες ομάδες υπάρχουν και πόσα μολύβια περιέχει κάθε ομάδα πριν υπολογίσετε.

Δεύτερο πρόβλημα: Οκτώ ομάδες λαμβάνουν έξι κάρτες η καθεμία. Πόσες κάρτες πρέπει να ετοιμαστούν; Η απάντηση είναι 48 κάρτες επειδή 8 × 6 = 48. Αν χρησιμοποιήσετε διπλό 4 × 6, ζητήστε τους να εξηγήσουν τι αντιπροσωπεύουν οι δύο ομάδες των είκοσι τεσσάρων.

Τρίτο πρόβλημα: Εννέα σειρές έχουν εννέα θέσεις η καθεμία. Πόσες θέσεις υπάρχουν; Υπάρχουν 81 θέσεις. Μπορείτε να το ελέγξετε αυτό με δέκα σειρές των εννέα, που θα αποτελούσαν συνολικά ενενήντα, και να αφαιρέσετε μία σειρά των εννέα. Κρατήστε τον έλεγχο ξεχωριστά από την απάντηση, ώστε και οι δύο ενέργειες να έχουν σαφή σκοπό.

Πώς να ελέγξετε για σύγχυση μεταξύ στενά συνδεδεμένων αποτελεσμάτων

Αν το παιδί απαντήσει στην ερώτηση 54 ως 7 × 8, ρωτήστε ποια πράξη του θυμίζει αυτός ο αριθμός. Το πενήντα τέσσερα είναι το αποτέλεσμα του 9 × 6, αλλά δεν πρέπει να υποθέσετε ότι αυτή είναι απαραίτητα η αιτία του λάθους. Ακούστε πρώτα την εξήγησή τους: ίσως μέτρησαν, πρόσθεσαν ή θυμήθηκαν έναν αριθμό χωρίς να τον συσχετίσουν με κάποια πράξη.

Γράψτε 7 × 8 δίπλα στην αναπαράστασή του και ανακατασκευάστε το αποτέλεσμα. Στη συνέχεια, αν βγάζει νόημα, συγκρίνετέ το με την πράξη που σας μπέρδευε στην πραγματικότητα. Η εργασία με δύο συγκεκριμένες κάρτες μπορεί να είναι πιο ξεκάθαρη από το να επαναλάβετε τρεις ολοκληρωμένους πίνακες. Επιλέξτε τη σύγκριση με βάση αυτά που παρατηρήσατε και όχι με βάση μια αυτόματη εξήγηση όλων των λαθών.

Συχνές Ερωτήσεις

Ποιο είναι το πιο εύκολο κόλπο για τον πίνακα του πολλαπλασιασμού του επτά;

Μια πιθανότητα είναι να χωρίσετε επτά ομάδες σε πέντε και δύο. Για παράδειγμα, το 7 × 8 μπορεί να λυθεί ως 5 × 8 + 2 × 8, δηλαδή, 40 + 16 = 56. Χρησιμοποιήστε αυτήν τη στρατηγική εάν το παιδί κατανοεί αυτά τα δύο μέρη.

Πώς μπορώ να εξηγήσω τον πίνακα πολλαπλασιασμού οκτώ με διπλάσια;

Ξεκινήστε με τον πίνακα πολλαπλασιασμού τεσσάρων και διπλασιάστε το αποτέλεσμα. Για 8 × 6, υπολογίστε πρώτα 4 × 6 = 24 και στη συνέχεια 24 + 24 = 48. Ένα σχέδιο με δύο πανομοιότυπα μπλοκ βοηθά να καταλάβετε γιατί λειτουργεί.

Γιατί αφαιρείται μια ομάδα από τον πίνακα πολλαπλασιασμού εννέα;

Επειδή εννέα ομάδες μπορούν να ληφθούν από δέκα ίσες ομάδες αφαιρώντας μία. Στο 9 × 7, δέκα ομάδες περιέχουν εβδομήντα στοιχεία και η ομάδα που αφαιρείται περιέχει επτά. Γι' αυτό ο υπολογισμός είναι 70 − 7 = 63.

Πρέπει να μάθουμε και τους τρεις πίνακες ταυτόχρονα;

Δεν είναι απαραίτητο. Μπορείτε να εργαστείτε πάνω σε μια σχέση, να επανεξετάσετε γνωστές λειτουργίες και στη συνέχεια να αναμίξετε μερικές ερωτήσεις. Προσαρμόστε τον αριθμό των ερωτήσεων στο επίπεδο του παιδιού και στις σχολικές εργασίες. Ο συνδυασμός θα πρέπει να σας βοηθά να παρατηρείτε, όχι να προσθέτει δυσκολία χωρίς σκοπό.

Τι κάνω αν καταλάβει το κόλπο αλλά αργήσει πολύ να απαντήσει;

Διατηρήστε κάποιες ευκαιρίες εξάσκησης με γνωστές συναλλαγές και δείτε αν χρειάζεστε όλο και λιγότερη υποστήριξη με την πάροδο του χρόνου. Η κατανόηση μιας στρατηγικής και η γρήγορη ανάκτηση κέρδους είναι διαφορετικά πράγματα. Μην απορρίπτετε μια χρήσιμη εξήγηση μόνο και μόνο επειδή σας παίρνει ακόμα λίγο χρόνο να τη χρησιμοποιήσετε.

Πώς μπορώ να εξασκηθώ σε αυτούς τους πίνακες πολλαπλασιασμού με το Tablitas;

Δείτε τις δραστηριότητες και το περιεχόμενο που είναι διαθέσιμο στην έκδοσή σας, επιλέξτε έναν στόχο και συνοδεύστε τον με ένα πρόβλημα πολλαπλασιασμού σε χαρτί. Μπορείτε να αποκτήσετε πρόσβαση σε αυτό από το Google Play ή το App Store. Ελέγξτε το περιεχόμενο που περιλαμβάνεται πριν οργανώσετε την συνεδρία.

Επιλέξτε μία σχέση για την επόμενη εξάσκηση

Δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε όλα τα παραδείγματα σε αυτόν τον οδηγό. Ξεκινήστε με μια δύσκολη πράξη και μια κατανοητή στρατηγική. Όταν το παιδί μπορεί να την εξηγήσει, αλλάξτε τη σειρά των ερωτήσεων ή θέστε ένα σύντομο πρόβλημα. Για να οργανώσετε τη συνέχεια, συμβουλευτείτε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα εξάσκησης στο σπίτι. Για να επανεξετάσετε τα βασικά, επιστρέψτε στον οδηγό για το πώς να μάθετε τους πίνακες πολλαπλασιασμού.